Axioma do par

O axioma do par diz que, dados dois conjuntos, existe um conjunto no qual esses dois conjuntos são elementos.

Em termos um poucos mais técnicos, sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que $A\in C\,$ e $B\in C\,$.

Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.

Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:

$\forall x,y\ \exists z\ (x\in z\land y\in z)\,$

Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:

$\forall x,y\ \exists !z\ (x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y)))\,$

Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto

$\{w\in z:w=x\lor w=y\}\,$

e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem $x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y))\,$ são iguais.

Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:

$\{x,y\}\,$

Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:

$\{x\}=\{x,x\}\,$

Ver também

• Wikilivros

• Axiomas de Zermelo-Fraenkel
• Par ordenado